[SAS] 계량형 다차원척도법

▷▶ 계량형 다차원척도법

계량형 다차원척도법이란 비유사성 d_ij와 차원 축소된 k차원의 공간점 사이의 거리 δ_ij의 관계가 절대척도·구간척도·비율척도 모형을 만족하도록 하는 다차원척도법을 말한다. (Kruskal and Wish)

이 때 형상공간의 차원과 좌표를 구하기 위해서, 스펙트럴 분해를 이용해 이를 구한 Torgerson의 알고리즘을 요약하면 다음과 같다.

[단계1]

비유사성행렬 D로부터 행렬 A = (a_ij) 를 계산. 여기서 a_ij = -d_ij² / 2

[단계2]

행렬 A로부터 이중-중심화행렬 B = (b_ij) = HAH 를 계산. 여기서 H = I - J / N 이고

(각각 행렬 A의 i 번째 행의 평균, j번째 열의 평균 그리고 모든 원소의 평균)

[단계3]

행렬 B의 스펙트럴 분해는 다음과 같이 한다.

여기서 D_λ ; 고유치λ₁≥…≥λ_p>0 를 대각원소로 하는 대각행렬 V ; 고유벡터 v_i,…,v_p 를 열로 하는 직교행렬

[단계4]

행렬 B의 스펙트럴 분해로부터 k(≤p)개의 고유값과 이에 대응하는 고유벡터를 가지고 크기가 n×k인 행렬

를 계산한다.

→ k-차원의 형상공간의 좌표를 제공한다.

→ k-차원의 다차원척도 그림을 제공한다.

만약 k=1 ; 1차원의 형상공간, k=2 인 경우 ; 2차원의 형상공간이 의미가 있다.

[ 적절한 차원의 수 k를 결정 ]

이렇게 구해진 형상공간의 좌표를 이용하여 다차원척도그림을 그릴 경우 k가 2이상이 되면, 실질적으로 해석상에 어려움이 있다. 즉, 적절한 차원의 수를 찾아내는 것을 고려해야 한다. 이를 위해 제안된 차원수를 결정하기 위한 측도는 다음과 같은 것들이 있다.

- Mardia, et al.(1979 ) 의 적합도 ;

이들은 고유값 중 일부는 음이 되는 경우를 고려한 것이다.

- Davison (1992) ; 수직축은 고유값을 수평축에는 차원수를 나타낸 그림

- Catell (1978) ; Scree-graph